第二讲椭圆、双曲线、抛物线（推荐时间：50分钟）一、选择题1．(·沧州模拟)抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()A.B．－C．8D．－82．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．44．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于()A．11B．10C．9D．165．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.B.C.D.6．(·广东)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆7．(·山东)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18．从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P.若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|等于()A.B．b－aC.D．a＋二、填空题9．(·马鞍山调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为右支上一动点，点Q(1,4)，则|PQ|＋|PF1|的最小值为________．11．已知抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________________________________．12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点O，则k1·k2的值为________________________________________________________________________．三、解答题13．(·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.14．(·北京)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．答案1．B2．D3．D4．A5．B6．A7．A8．B9．410．911.－112．313．(1)解设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)证明方法一依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.方法二依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x
3，所以|k|>.14．(1)解曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得0，即k2>.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0.即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．
