第三讲推理与证明（推荐时间：50分钟）一、选择题1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－32．已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为()A.＋＝2B.＋＝2C.＋＝2D.＋＝23．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”“类比得到a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”“类比得到(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”“类比得到(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”“类比得到p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”“类比得到|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“”“”＝类比得到＝．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)b>0，且ab＝1，若0qB．p1,1…＋＋＋＋>，1…＋＋＋＋>2,1…＋＋＋＋>…，，则按此规律可猜想第n个不等式为____________________________________．11．用数学归纳法证明－1＋3－5…＋＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn，当n＝1时，左边应为________．12．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是____________．三、解答题13．若数列{an}的前n项和Sn是(1＋x)n二项展开式中各项系数的和(n＝1,2,3…，)．(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝，求数列{cn}的通项及其前n项和Tn；(3)求证：Tn·Tn＋211.－112.＝13．(1)解由题意Sn＝2n，Sn－1＝2n－1(n≥2)，两式相减得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2，∴an＝.(2)解 bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5…，，bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5…＋＋(2n－3)＝＝(n－1)2. b1＝－1，∴bn＝n2－2n.cn＝.∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23…＋＋(n－2)×2n－1，①∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24…＋＋(n－2)×2n.②①－②得，－Tn＝2＋22＋23…＋＋2n－1－(n－2)×2n.＝－(n－2)×2n＝2n－2－(n－2)×2n＝－2－(n－3)×2n.∴Tn＝2＋(n－3)×2n.(3)证明Tn·Tn＋2－Tn＋12＝[2＋(n－3)×2n]·[2＋(n－1)×2n＋2]－[2＋(n－2)×2n＋1]2＝4＋2·(n－1)·2n＋2＋2×(n－3)×2n＋(n－3)·(n－1)×22n＋2－[4＋4×...
