专题七数学思想方法第一讲函数与方程思想一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝2．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1
0，b>0，则下列命题正确的是()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则abD．若2a－2a＝2b－3b，则a3C．125．(·课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()A.B．2C．4D．86．定义在R上的偶函数f(x)在[0∞，＋)上递增，f＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是()A．(0∞，＋)B．(0，)∪(2∞，＋)C．(0，)∪(，2)D.7．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(∞－，0)C．(∞－，1)D.8．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是()A．m≤－B．－0，g(x)<1＋e－2.答案1．B2．B3．A4．B5．C6．B7．C8．D9．1510.11．(∞－，]12．213．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为OA·OB＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1，所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.由即(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.又直线与椭圆相交于两点，所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)·a2(1－b2)＞0，整理得a2b2(a2＋b2－1)＞0，即a2＋b2＞1.又x1＋x2＝，x1x2＝，所以－＋1＝0，即a2＋b2－2a2b2＝0.由b2＝a2－c2＝a2－a2e2，代入上式整理，得a2＝(1＋)．又e∈，所以≤≤2≤，1≤＋3，所以a2∈，适合a2＋b2＞1.所以a∈.所以a的最大值为.14．(1)解由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0∞，＋)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)解由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0∞，＋)．令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0∞，＋)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1∞，＋)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1∞，＋)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1∞，＋)．(3)证明因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0∞，＋)．因为，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xlnx<(1＋e－2)．由(2)知h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0∞，＋)，所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)，x∈(0∞，＋)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2∞，＋)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－xlnx≤1＋e－2.设φ(x)＝ex－(x＋1)．因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，所以当x∈(0∞，＋)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，故当x∈(0∞，＋)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1.所以1－x－xlnx≤1＋e－2<(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
