第四讲转化与化归思想（推荐时间：50分钟）一、选择题1．(·大纲全国)△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b2．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于()A．an＋1－aB．n(a＋1)C．naD．(a＋1)n－13．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－215．若α、β∈，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是()A．α＞βB．α＋β＞0C．α＜βD．α2＞β26．已知OA＝(cosθ1,2sinθ1)，OB＝(cosθ2,2sinθ2)，若OA′＝(cosθ1，sinθ1)，OB′＝(cosθ2，sinθ2)，且满足OA′·OB′＝0，则S△OAB等于()A.B．1C．2D．47．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.B.C.D.8．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9二、填空题9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．10．在Rt△ABC中，C＝，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，r，S分别表示它的内切圆半径和面积，则的取值范围是__________．11．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的大小关系是________．12．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______．三、解答题13．(·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n…，有＋＋＋<.14．(·福建)已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.答案1．D2．C3．D4．C5．D6．B7．C8．D9．(－13,13)10．[2－2,1)11．f(2)1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)，∴＝<＝·，∴…＋＋＋<1＋＝1＋＝1＋＝－<，…即＋＋＋<.14．解(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此时f′(x)＝ex－e.由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(∞－，1)时，有f′(x)<0；当x∈(1∞，＋)时，有f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(∞－，1)，单调递增区间为(1∞，＋)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x>x0时，g′(x)>0，则当x>x0时，g(x)>g(x0)＝0；当xg(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．②若a<0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(∞－，x*)时，h′(x)<0，从而h(x)在(∞－，x*)内单调递减；...
