§2.2椭圆2．2.1椭圆的标准方程(一)一、基础过关1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．3“．1b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．12.如图，已知椭圆的方程为＋＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持PA＋PB的值不变，求曲线E的方程．答案1．线段2．183．必要不充分4．245.＋y2＝1或x2＋＝16．0b>0)，依题意，知⇒∵a2＝<＝b2，∴方程无解．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，知⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)．依题意，得⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.9．9或10．411．解(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4，又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝，又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.12．解由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，∴F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos60°，∴4＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2·cos60°，∴4＝16－3PF1·PF2，∴PF1·PF2＝4，∴S△PF1F2＝PF1·PF2·sin60°＝×4×＝.13．解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵PA＋PB＝CA＋CB＝＋＝2，且PA＋PB>AB，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.
