§1.3全称量词与存在量词1．3.1量词一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是________．2．下列命题中，真命题的序号为________．①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数．3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．其中存在性命题为________(填序号)．4．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.5．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________(填序号)．①存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα②存在实数x0，使sinx0＝③对一切α，sin(180°－α)＝sinα④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ6．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．7．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得＝2.二、能力提升8．下列4个命题：p1：∃x∈(0∞，＋)，xlogx；p3：∀x∈(0∞，＋)，x>logx；p4：∀x∈，x4.10．关于x的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)有以下命题：①∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②∃ω∈R，f(x＋1)＝f(x)；③∀φ∈R，f(x)都不是偶函数；④∃φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是__________．11“．若命题∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．12．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．13．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．三、探究与拓展14．若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．答案1．32．①3．②③4．35．①6．07．解(1)“是全称命题，用符号表示为∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．(2)“是存在性命题，用符号表示为∃直线l，l”的斜率不存在，是真命题．(3)“是全称命题，用符号表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0”都有唯一解，是假命题．(4)“是存在性命题，用符号表示为∃x0∈R，＝2”，是假命题．8．p2，p49．②10．①③11．(∞－，－1)∪(3∞，＋)12．解∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p、q都为真，∴∴a≤－2或a＝1.13．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴实数m的取值范围是(4∞，＋)．14．解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1,∴a＝22－.又－1≤sinx≤1，∴≤－22≤－3.≤故当－a≤3时，方程a＝22－有实数解，所以，所求实数a的取值范围是.
