【苏教版】【步步高】届高考数学一轮复习备考练习：第一章1.2.3直线与平面的位置关系（二）一、基础过关1．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为________三角形．2．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF.3．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为______．4．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．5．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．6．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．(1)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．10．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．12．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．三、探究与拓展13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．答案1．直角2．①3．4．45．A1C1⊥B1C1(或∠A1C1B1＝90°)6．(1)内(2)垂(3)外7．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.8．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连结AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF綊CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.9．410．①②③11．(1)45°(2)30°(3)90°12．证明(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连结ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊CD綊AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．13．(1)证明如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)解如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
