§3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝______；y＝__________________________________________________________________.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝_____.3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为___．5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．6．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是______．7．若a＝(1，－1,1)，b＝(2，－1，－3)，则与a，b都垂直的单位向量为________________________________________________________________________．二、能力提升8．在正方体ABCD——A1B1C1D1中，以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E、F分别为BB1和A1D1的中点，则平面AEF的一个法向量是______________________．9．已知直线l的方向向量u＝(2，－1,3)，且l经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y＝______，z＝________________________________________________________________.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量．11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，(1)试求平面α的一个法向量；(2)若M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z的关系式．12．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2AC＝AB，∠BAC＝90°，D是CC1的中点，试求平面AB1D的一个法向量．三、探究与拓展13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC—A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求BA1与CB1夹角的余弦值；(3)求证：BN是平面C1MN的一个法向量．答案1．62．43．－84．(18,17，－17)5．l⊥α6．1或－37．或8．(4，－1,2)(不唯一)9．10．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，AE＝，D1F＝，A1D1＝(－1,0,0)．∵AE·D1F＝·＝－＝0，AE·A1D1＝0，∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量．11．解(1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0.即，解得.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．(2)∵AM＝(x－1，y－2，z－3)，∴n·AM＝0.∴2(x－1)＋(y－2)＝0，即2x＋y－4＝0.12．解方法一不妨设AC＝1，以A点为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B1(0,2,2)．则AD＝(1,0,1)，AB1＝(0,2,2)．设n＝(x，y，z)是平面AB1D的法向量，则，∴，得.令z＝1，得平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，－1,1)．方法二由AD＝(1,0,1)，可设平面AB1D的一个法向量为n＝(－1，y,1)．由n·AB1＝0，得2y＋2＝0，∴y＝－1.∴平面ABD的一个法向量为(－1，－1，1)．13．(1)解如图所示，以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C—xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|BN|＝＝，∴线段BN的长为.(2)解依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.(3)证明依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，N(1,0,1)．∴M，C1M＝，C1N＝(1,0，－1)，BN＝(1，－1,1)，∴C1M·BN＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，C1N·BN＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C1M⊥BN，C1N⊥BN，又C1M∩C1N＝C1，∴BN⊥平面C1MN.∴BN是平面C1MN的一个法向量．
