2.6.3曲线的交点一、基础过关1．若直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同交点，则a的取值范围是__________．2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________．3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．4．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为________．5．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是________(填序号)．6．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为，则双曲线的实轴长是_____．7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.8．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA·OB＝__________.二、能力提升9．双曲线x2－y2＝1左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝______.10．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________．11．已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当MN＝时，求直线l的方程．12．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时OA⊥OB？此时AB的值是多少？三、探究与拓展13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足PF2＝F1F2.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且MN＝AB，求椭圆的方程．答案1．(－2,2)2．[－1,1]3．4．5．③6．37．28．－9．－10．x＋4y＝011．解(1)设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．(2)由消去y得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.得x1＝0，x2＝(x1，x2分别为M，N的横坐标)，由MN＝|x1－x2|＝×＝，解得，k＝±1.所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.12．解(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b＝＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.又x1x2＋y1y2＝0，∴k＝±.当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.AB＝＝，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝，∴AB＝＝.13．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为PF2＝F1F2，所以＝2c.整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，－c)，所以AB＝＝c.于是MN＝AB＝2c.圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.因为d2＋()2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
