浅析一致收敛性的判定极其应用研究摘要:随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.鉴于以上所言，本文在前人已有的研究基础上，以连续性，可微性，可积性为基本切入点，列举两个一致收敛在解析函数中的应用，探讨一致收敛性在函数解析性中的作用．关键词：函数项级数；一致收敛性；解析性；应用.Thedeterminationofuniformconvergenceisextremelyapplied.Abstract:withthedevelopmentofscienceandtechnology,havealreadycan'tsatisfypeople'sneedsofelementaryfunction.Aspeopletotheseriesofin-depthstudy,thetheoryofinfiniteserieshasbeenrapiddevelopment.Withinfiniteseries,theseriesexpressedbyfunctiontermsarisesatthehistoricmoment.Seriesexpressedbyfunctiontermsinthefieldofmathematicalsciencesandengineeringtechnologyhaveawiderangeofapplications,theuniformconvergenceofseriesexpressedbyfunctiontermsplaysanimportantroleintheapplication,sothefunctionofaseriesofuniformconvergenceanditsdecisionhasbecomeanimportantlinkinthewholeprocessofapplication.Inviewoftheabove,thisarticle,onthebasisofexistingresearchoncontinuity,different,inseparabilityasthebasicstartingpoint,citedtwouniformconvergenceintheapplicationoftheanalyticfunction,toexploretheroleofuniformconvergenceintheanalyticalfunction.Keywords:functiontermseries;Uniformconvergence;Analyticity;Applications.1引言随着科学技术不断的发展，人们对于自然的认识逐渐深入，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地；其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性判定的方法进行归纳与总结，并一一举例证明，并且以一类最简易的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行了举例说明[3].2一致收敛性的判定与性质2.1一致收敛性的内容想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用，我们首先就要了解什么是一致收敛性．设{Sn(x)}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于函数S(x)，或称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛[4].2.2一致收敛性的判定为了研究一致收敛的性质，首先简要的了解判定函数项级数的一致收敛性的几种方法．2.2.1定义证明法设{Sn(x)}是函数项级数∑un(x)的部分和函数列.若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛于函数S(x)，或称函数项级数∑un(x)在D上一致收敛[5].定理：若对∀n，∃an>0使得|S(x)−Sn(x)|≤an(∀x∈D),并且当n→∞时有an→0.则当n→∞时Sn(x)一致收敛于S(x).例2.1：若fn(x)在[a,b]上可积，n=1,2,⋯⋯，且f(x)与g(x)在[a,b]上都可积limn→∞∫ab|fn(x)−f(x)|dx=0.设h(x)=∫axf(t)g(t)dthn(x)=∫axfn(t)g(t)dt，则在[a,b]上hn(x)一致收敛于h(x).证明：|h(x)−hn(x)|=|∫axf(t)g(t)dt−∫axfn(t)g(t)dt|=|∫ax(f(t)−fn(t))g(t)dt|¿∫ax|f(t)−fn(t)||g(t)|dt¿(∫ax|f(t)−...
