1.2.2充要条件一、基础过关1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A.m>1，且n<1B.mn<0C.m>0，且n<0D.m<0，且n<04.平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5.已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB·AC<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.将所有正确命题的序号填在横线上________.二、能力提升8.已知命题p：集合{x|x＝cos，n∈Z}只有4个元素，q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合{x|y＝x2＋1}相等，则新命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.39.已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.10.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的__________条件.11.求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件.12.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.三、探究与拓展13.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.答案1.A2.A3.B4.D5.C6.B7.②④8.C9.10.必要不充分11.不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>112.证明充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴方程的两根异号.即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.13.证明充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立.总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.
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