3.2.4二面角及其度量一、基础过关1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m＝(－1，2,0)，n＝(1,0，－2)，且m、n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为()A.B.C.D.3．二面角α—l—β中，平面α的一个法向量n1＝，平面β的一个法向量n2＝，则二面角α—l—β的大小为()A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°4.在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()A．－B.C.D.5．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．6．已知A∈α，P∉α，PA＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为________．二、能力提升7．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为()A.B.C.D.8．A、B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是()A．30°B．60°C．45°D．75°9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12.如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC.(1)证明AD⊥CE；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的余弦值．答案1．C2．B3．C4．B5．90°7．A8．C9.10．解(1)建系如图，由已知得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，M.设直线BP与DM所成的角为θ.∵BP＝(－a,0，a)，DM＝，∴BP·DM＝0.∴BP与DM所成的角的大小为90°.(2)∵AP＝(0,0，a)，AB＝(a,0,0)，AD＝(0，a,0)，BP＝(－a,0，a)，∴BP·AD＝0，AP·AB＝0，AP·AD＝0.又由(1)知BP·DM＝0，∴BP是平面MDA的法向量，AP是平面ABCD的法向量，则cos〈BP，AP〉＝＝.∴所求的二面角M—DA—C的大小为45°.11．解过点A作AE⊥平面ABCD.以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B，D，F(0,2,2)．设平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，则由得令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(，－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角B—AF—D的大小等于.12.(1)证明作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点．以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz.设A(0,0，t)．由已知条件有C(1,0,0)，D(1，，0)，E(－1，，0)，CE＝(－2，，0)，AD＝(1，，－t)，所以CE·AD＝0，得AD⊥CE.(2)解作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，如图所示．设F(x,0，z)，则CF＝(x－1,0，z)，BE＝(0，，0)，CF·BE＝0.故CF⊥BE.又AB∩BE＝B，所以CF⊥平面ABE，故∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF＝45°，由CE＝，得CF＝.又CB＝2，所以∠FBC＝60°，所以△ABC为等边三角形，因此A(0,0，)．作CG⊥AD，垂足为G，连接GE.在Rt△ACD中，求得|AG|＝|AD|.故G，GC＝，GE＝.又AD＝(1，，－)，GC·AD＝0，GE·AD＝0，所以GC与GE的夹角等于二面角C—AD—E的平面角．由cos〈GC，GE〉＝＝－.
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