§2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程(一)一、基础过关1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16B．18C．20D．不确定3．“1b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．12.如图，已知椭圆的方程为＋＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．答案1．D2．B3．B4．A5．D6．A7．解方法一①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，知⇒∵a2＝<＝b2，∴方程无解．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意，知⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．依题意，得⇒故所求椭圆的标准方程为＋＝1.8．0b>0)，又∵a＝.∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6.10．4解析设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.11．解(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.12．解由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，∴4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°，∴4＝16－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin60°＝×4×＝.13．解如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|>|AB|，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.
