2.2.1椭圆的标准方程(二)一、基础过关1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()A．线段B．椭圆C．圆D．不存在2．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标为()A．(±3,0)B.C.D.3．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.B.C.D．44．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．线段D．直线5．曲线＋＝1与＋＝1(0b>0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.求椭圆C的方程．二、能力提升7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|＝________.8．已知A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______________．9．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若F1A＝5F2B，则点A的坐标是__________．10．△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．11．P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，求动点Q的轨迹方程．三、探究与拓展12．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M，N为焦点，且经过点P的椭圆的方程．答案1．D2．D3．C4．B5．B6．解因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.7．68．x2＋y2＝19．(0,1)或(0，－1)10．解由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.∴b′2＝3.又a>b>c，∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2b>0)．12．解如图所示，以MN所在的直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，M(－c,0)，N(c,0)，P(x0，y0)．由tan∠PMN＝，tan∠PNx＝tan(π－∠MNP)＝2，得直线PM，PN的方程分别是y＝(x＋c)，y＝2(x－c)．联立解得即点P.又∵S△PMN＝|MN|·|y0|＝×2c×c＝c2，∴c2＝1，即c＝，∴点M，N，P.∴2a＝|PM|＋|PN|＝＋＝，即a＝.∴b2＝a2－c2＝－＝3.∴所求椭圆的方程为＋＝1.
