2.3.3等比数列的前n项和(一)课时目标1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝__________.3．推导等比数列前n项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．一、填空题1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.3．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝________.4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝________.5．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.6．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．7．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为________．8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝____________.9．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.10．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n－1＋k，则实数k的值为________．二、解答题11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3…＋＋nxn(x≠0)．能力提升13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，“”且知三求二．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．2．3.3等比数列的前n项和(一)答案知识梳理1．(1)na12.3.错位相减作业设计1．－11解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.2．3解析S6＝4S3⇒＝⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.3．33解析由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.4.解析方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.方法二S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.5．1解析方法一 Sn－Sn－1＝an，an为定值，∴q＝＝1.方法二 an是等比数列，∴an＝a1qn－1， {Sn}是等差数列．∴2S2＝S1＋S3.即2a1q＋2a1＝a1＋a1＋a1q＋a1q2，化简得q2－q＝0，q≠0，∴q＝1.6．10解析Sn＝，∴－341＝，∴q＝－2，又 an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.7．510解析由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程组，解得或. q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.8.解析 {an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1. S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.∴S5＝＝8(1－)＝.9．2n－1解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N*.10．－解析当n＝1时，a1＝S1＝1＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1＋k)－(3n－2＋k)＝3n－1－3n－2＝2·3n－2.由题意知{an}为等比数列，所以a1＝1＋k＝，∴k＝－.11．解 a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组得①或②将①代入Sn＝，可得q＝，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.12．解分x＝1和x≠1两种情况．(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3…＋＋n＝.(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3…＋＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4…＋＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3…＋＋xn...
