第3章三角恒等变换章末复习课苏教版必修4课时目标1．灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．知识结构一、填空题1．tan15°＋＝________.2．函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是________．3．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．4．若8sinα＋5cosβ＝6,8cosα＋5sinβ＝10，则sin(α＋β)＝________.5．若3sinα＋cosα＝0，则的值为________．6．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是________．7．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ＝________8．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．9．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．二、解答题11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．12．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．能力提升13．当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是________．14．设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．本章所学内容是三角恒等变换的重要工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．章末复习课作业设计1．4解析原式＝＋＝＝＝4.2．π解析f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)＝cos2(－x)－sin2(x－)＝cos2(x－)－sin2(x－)＝cos(2x－)＝sin2x.∴T＝π.3．1－解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin(2x＋)，∴ymin＝1－.4.解析∵(8sinα＋5cosβ)2＋(8cosα＋5sinβ)2＝64＋25＋80(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝.5.解析∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－，∴＝＝＝＝.6.解析f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－×＝cos4x＋，∴T＝＝.7.解析∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，∴sin22θ＝.∵θ是第三象限角，∴sinθ<0，cosθ<0，∴sin2θ>0.∴sin2θ＝.8.，k∈Z解析f(x)＝sinωx＋cosωt＝2sin.因为函数y＝f(x)的图象与y＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y＝f(x)的周期为π.所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin.令2kπ≤－2x≤＋2kπ＋得2kπ≤－2x≤2kπ＋，即kπ≤－x≤kπ＋(k∈Z)．9．－解析由题意，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π.∴sin2α＞0.∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan＝＝＝－.10.解析∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC＝2sin＝1.∴sin＝，∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π.11．解(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．12．解(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得sinβ＝，tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝1.(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝－，f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ＝－sinx－cosx＋cosx－sinx＝－sinx，又－1≤sinx≤1，所以f(x)的最大值为.13．－解析y＝2cosx－3sinx＝＝(sinφcosx－cosφsinx)＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，∴cosx＝sinφ＝，sinx＝－cosφ＝－.∴tanx＝－.14．解(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，故f(x)的最小正周期为T＝＝8.(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.当0≤x≤≤时，x≤＋，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.
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