1.3.2空间几何体的体积【课时目标】1．了解柱、锥、台、球的体积公式．2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．1．柱体、锥体、台体的体积柱体：V＝______，V圆柱＝________．锥体：V＝________，V圆锥＝________．台体：V＝____________，V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)．其中S、S′为底面面积，h为高，r、r′为底面半径．2．球的表面积和体积S球＝________，V球＝__________其中R是球的半径．一、填空题1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．5．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3．6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________．7．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是______cm3．9．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．二、解答题10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．11．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积与体积．能力提升12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝Sh――→V台体＝h(S＋＋S′)――→V锥体＝Sh．4“”．割补是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系．1．3．2空间几何体的体积答案知识梳理1．Shπr2hShπr2h(S′＋＋S)h2．4πR2πR3作业设计1．2解析由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．2．1∶3解析关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．两球体积之比为a3：(a)3＝1∶3．3．50π解析外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝(a、b、c分别是长、宽、高)．4．4∶9解析设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．5．4解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4m3．6．解析连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)2·＝．7．48解析由πR3＝，得R＝2．∴正三棱柱的高h＝4．设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4．∴V＝(4)2·4＝48．8．144解析此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝(82＋42＋)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．9．4解析设球的半径为rcm，则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r．解得r＝4．10．解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝·h·(＋S＋)＝hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5．11．解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB...
VIP
