解答题题型练题型一三角函数的单调性及求值问题(推荐时间：30分钟)1．(·天津)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．2．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．答案1．解(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)．因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝.由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，从而cos(2x0＋)＝－＝－.所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)·sin＝.2．解(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin.由题意可知函数的周期T＝＝π，即ω＝1，所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，则g(x)的最大值为2，此时有2sin＝2，即sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，k∈Z.解得x＝kπ＋(k∈Z)，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为.
