2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是()A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[答案]A[解析] 定点(1,1)在直线x＋2y＝3上，∴轨迹为直线．2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为()A.B.C.D.[答案]B[解析]设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，∴x0＝，∴y0＝±.3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.B．－C．8D．－8[答案]B[解析] y＝ax2，∴x2＝y，其准线为y＝2，∴a<0,2＝，∴a＝－.4．(·湖南文，5)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12[答案]B[解析]本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上答案都有可能[答案]B[解析]特值法：取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝12yD．x2＝－12y[答案]C[解析]由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．因为焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．20B．8C．22D．24[答案]A[解析]设P(x0,12)，则x0＝18，∴|PF|＝x0＋＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()A．2B.C.D.[答案]B[解析]＝c＝，∴p＝.10．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案]D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，因此>>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.二、填空题11．已知圆x2＋y2＋6x＋8＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.[答案]4或8[解析]抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－＝1或－3＝1，∴p＝4或p＝8.12．到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．[答案]y2＝8－8x[解析]设动点坐标为(x，y)，由题意得＝|x－3|，化简得y2＝8－8x.13．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案]y2＝－20x[解析] 双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，又p＝10，∴y2＝－20x.14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线－＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析]设圆心坐标为(a，b)，则a>0，b>0. y2＝2x的准线为x＝－，－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0.由题意a＋＝1，则a＝.|3a±4b|＝5，解得b＝或b＝，∴圆心坐标为、.三、解答题15．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．[解析] 点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)． 点M到准线的距离为10，∴，解得，或，故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.16．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足PA·PB＝y2－8.(1)求动点P的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)[解析](1)由题意可得PA·PB＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8化简得x2＝2y(2)将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)整理得x2－2x－4＝0可知Δ＝20>0设C(x1，y1)，D(x2，y2)x1＋x2＝2，x1·x2＝－4 y1＝x1＋2，y2＝x2＋2∴y1y2＝(x1＋...
