2.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．椭圆、线段或不存在D．不存在[答案]C[解析]当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．2．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是()A．2B.C.D．2[答案]D[解析]椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：＋＝1，a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2.3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C.D．－[答案]B[解析]椭圆方程5x2＋ky2＝5可化为：x2＋＝1，又 焦点是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，∴k＝1.4．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A．－98[答案]B[解析]由题意得，解得8－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又n>m，∴无意义，排除A，故选C.6．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.＋＝1B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)[答案]D[解析]|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.7．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A.B.C.D.[答案]D[解析]S△PF1F2＝×|F1F2|·|yP|＝×2×|yP|＝1，∴|yP|＝1，yP＝±1，代入椭圆方程得，xP＝±.8．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.＋x2＝1B.＋y2＝1或x2＋＝1C.＋y2＝1D．以上都不对[答案]A[解析]设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)由题意得，解得.9．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．射线D．直线[答案]A[解析] |PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，又 F1、P、Q三点共线，∴|F1P|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a.即Q在以F1为圆心以2a为半径的圆上．10．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是()A．b2B．bcC．abD．ac[答案]B[解析]S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案]＋＝1[解析]由题意可得，∴，故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.12．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案]＋＝1[解析]因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.13．(·上海文，12)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[答案]3[解析]本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，又 PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3.14．椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的____________倍．[答案]7[解析]如图，PF1的中点M在y轴上，O为F1F2的中点，∴OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.三、解答题15．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n.根据椭圆定义有m＋n＝20，又c＝＝6，∴在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝，∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝××＝.16．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．...
