2.5等比数列的前n项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．一、选择题1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于()A．11B．5C．－8D．－11答案D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于()A．－3B．5C．－31D．33答案D解析由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于()A．2B．4C.D.答案C解析方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.方法二S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.B.C.D.答案B解析 {an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1. S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.∴S5＝＝8(1－)＝.5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为()A．0B．1C．－1D．2答案C解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510答案D解析由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程组，解得或. q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.二、填空题7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.答案－解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.答案3解析S6＝4S3⇒＝⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．答案10解析Sn＝，∴－341＝，∴q＝－2，又 an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.答案2n－1解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N*.三、解答题11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.解 a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组得①或②将①代入Sn＝，可得q＝，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3…＋＋nxn(x≠0)．解分x＝1和x≠1两种情况．(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3…＋＋n＝.(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3…＋＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4…＋＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3…＋＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.∴Sn＝－.综上可得Sn＝.能力提升13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.解方法一由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.方法二由题意得a≠1，∴Sn＝＝54①S2n＝＝60②由②÷①得1＋qn＝，∴qn＝，∴＝，∴S3n＝＝(1－)＝.14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.(2) bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24…＋＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25…＋＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②②...
