5.3直线与平面的夹角课时目标1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角．1．直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的________所成的角，其范围是__________，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中________的角．2．直线和平面所成的角可以通过直线的____________与平面的__________求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sinθ＝__________.一、选择题1．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°2.如图所示，四面体SABC中，SA·SB＝0，SB·SC＝0，SA·SC＝0，，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点．则BC与平面SAB的夹角为()A．30°B．60°C．90°D．75°3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A．30°B．60°C．45°D．120°4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是()A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()A．30°B．60°C．150°D．以上均错6．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A．30°B．60°C．150°D．90°题号123456答案二、填空题7.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．8．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则直线PB与平面PAC所成的角为________．9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.三、解答题10.如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．11.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．能力提升12.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．13．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．直线与平面所成角的求法(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝或cosθ＝sinφ.5．3直线与平面的夹角知识梳理1．射影最小2．方向向量法向量|cosφ|作业设计1．C2．B[ SB·SC＝0，SA·SC＝0，∴SB⊥SC，SA⊥SC，即SB⊥SC，SA⊥SC，又SB∩SA＝S，∴SC⊥平面SAB，∴∠SBC为BC与平面SAB的夹角．又∠SBC＝60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.]3．B4．A[A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，则MP·MN＝(MB1＋B1P)·MN＝MB1·MN＋B1P·MN＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.也可由三垂线定理直接得MP⊥MN.]5．B[当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．]6．A[如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则CA＝(2a,0,0)，AP＝，CB＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝.∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.]7.解析不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则CD＝，CB1＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(...
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