均衡存在性的证明一、逻辑框架假设5.1：消费者效用的特征：代表性消费者i的效用函数iux在n维非负空间n上连续、强递增和严格拟凹。定理5.1：需求函数的特征：如果代表性消费者i的效用函数iux满足假设5.1，则对于每一个0p，消费者问题：max,..iiinuxstxpxpe有唯一解：ixp,pe。ixp,pe在n上连续。定义5.4：过度需求函数的定义：111,...,nniiiinzpxp,peezpzp定理5.2、5.4：过度需求函数的特征：过渡总需求函数zp具有下列特征：1：（定理5.2）连续性：2：（定理5.4）齐次性：3：（定理5.4）Walras法则：4：（定理5.4）如果各种禀赋的总数量严格为正，如果mp是n中的价格向量数列，收敛于0p，且在p中某商品k的价格0kp，则对于价格0kp的商品k，与价格向量数列mp相对应的过度需求数列mkzp无上界。定理5.3：（纯数学定理）假设函数zp满足下列特征：1：连续性：2：齐次性：3：如果mp是n中的数列，收敛于0p，且在p中0kp，则对于0kp的k，与数列mp相对应的数列mkzp无上界。则存在向量*p0使得0*zp定理5.5：存在价格向量*p使得过度总需求0*zp定义5.5：使得0zp的向量*np，叫做Walras均衡。存在Walras均衡证明定理5.4（3）：如果每个消费者的效用函数都满足假设5.1，并且各种禀赋的总数量严格为正，10Iiie，如果mp是n中的价格向量数列，收敛于0p，且在p中某商品k的价格0kp，则对于价格0kp的商品k，与价格向量数列mp相对应的过度需求数列mkzp无上界。解释：1.mp定义在n中，即对于所有的m，有0mp。2.当m，mpp，p的特征为0p且0p；同时，由于在p中某些坐标为零，0kp，所以，p并不严格大于零向量，如，1211,,...,,0,,...,kknpppppp。也就是说，当m时，mpp，0mkp。3.p中为零的坐标，第k个坐标，k可能等于k，也可能不等于k，对一切等于零的坐标或商品，0kp，其需求为无穷大。由于当m时mkkpp，所以，mkp，即mkp无上界。证明：设严格为正的价格数列mp收敛于0p，对于某商品k，有0kp。由于10Iiie，且0p，所以Iii=1pe>0，IIiii=1i=1pepe>0，所以，至少一位消费者有ipe>0。对应于价格向量数列mp，该消费者有需求数列immixp,pe：对于所有的m，argmax,..immiiiinustxp,pexpxpex我们要证明该消费者的需求数列无上界。反证法。设immixp,pe有界，则有收敛子数列。假设数列immixp,pe收敛于*x，即当m时，*mimmixxp,pex。对于所有的m，有mmmipxpe。有limlimmmmimmxpppxpe，得*0ipepx。令*0,...,0,1,0,...,0xx，其中第k项为1。效用函数强递增，因此有，*uuxx。且有*0ipxpxpe**1,0*0,...,0,1,0,...,0100nkjjjkppipxpxppxpxpe效用函数连续，所以，存在一个0,1t，使得*utuxx且*tipxpxpe为什么设计tx？由于在m时，mpp，*mxx，所以，在m足够大时，有mutuxx，mmtipxpe，所以，mx不是消费当m足够大时，mx在*x的邻域内。mx*xtx*x者问题在mp下的解。这与假设相矛盾，所以，与特征为收敛于0p且在p中某商品k的价格0kp的价格向量数列mp相对应的需求数列mx无上界。1,...,mmmnxxx无上界，意味着其全部或部分或至少一个元素无上界。假设是商品k的需求mkx无上界。由于此消费者的收入mipe收敛于ipe，所以收入数列mipe有界。也就意味着mmikkpxpe，因为mkx无上界，所以0mkp，即lim0mkkmpp。由于对商品k的需求mkx无上界，而此商品的供给固定，所以其过度需求数列mkzp无上界。定理5.3：（纯数学定理）假设函数zp满足下列特征：1：连续性：2：齐次性：3：如果mp是n中的数列，收敛于0p，且在p中0kp，则对于0kp的k，与数列mp相对应的数列mkzp无上界。则存在向量*p0使得0zp解题思想：应用Brouwer不动点定理解题步骤：1、构造单纯形用1,...,nPPP表示各商品的货币价格。用1111,...,,...,mnnnmmmmPPppPPp表示相对价格。函数zp满足齐次性，11nmmPzPzPzp，寻找使0zP的解，等同于寻找使0zp的解。相对价格向量的特点：11nkkp，价格向量为单纯形中的点。但是，应用不动点定理，函数在定义域上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图中的价格向量2p时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除去，即设法保证0p。商品1商品2商品31p2p定理A1.11：Brouwer不动点定理设nS是非空集、紧集和凸集。设:fSS是连续映射，那么在集合S中，存在...
