专题67取球、比赛与闯关问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考概率统计问题，往往以实际问题为背景，围绕比赛、娱乐“闯关”、取球等设计问题，考查概率、统计、离散型随机变量及其数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）取球问题在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同.2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数.5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解.（二）比赛与闯关问题1、常见的比赛规则（1）n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛.所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为23，求甲以3:1获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而33421323381PC，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1，所以2232122433381PC（2）连胜制：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜.例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲获胜的概率为34，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果.所以3132744256P（3）比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前1m个阶段均能通关2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如：iA表示“第i局比赛胜利”，则iA表示“第i局比赛失败”.（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用1PAPA解出所求事件概率.在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率【经典例题】例1.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a-1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球...
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