【成才之路】-学年高中数学2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．已知数轴上A点坐标为－5，AB＝－7，则B点坐标是()A．－2B．2C．12D．－12[答案]D[解析]∵xA＝－5，AB＝－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.2．已知e1、e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为()A．8B．－8C．3D．－3[答案]B[解析]∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴，即.3．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形[答案]B[解析]∵AB＝－CD，∴AB∥CD，且AB>CD，∴四边形ABCD为平行四边形．4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC＝()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC．OA－OBD．－OA＋OB[答案]A[解析]∵2AC＋CB＝0，∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＋OB－2OA＝0，∴OC＝2OA－OB.5．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．a＝±a|e|B．a＝|a|eC．a＝－|a|eD．a＝±|a|e[答案]D[解析]e与a同向时，a＝|a|e，e与a反向时，a＝－|a|e，∴a＝±|a|e.6．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、CB．A、B、DC．B、C、DD．A、C、D[答案]B[解析]∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴AB与BD共线，又∵AB与BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．二、填空题7．轴上三点A、B、C的坐标分别为1、－1、－5，则AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.[答案]－1010[解析]AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.8．设数轴上A、B的坐标分别是2、6，则AB的中点C的坐标是________．[答案]4[解析]∵xA＝2，xB＝6.∴AB中点C的坐标为xC＝＝＝4.三、解答题9．设两个非零向量a与b不共线，若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．[解析]∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，∴AB、BD共线，又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．一、选择题1．设a、b是不共线的向量，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k、m∈R)，则当A、B、C三点共线时，有()A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0[答案]B[解析]∵A、B、C三点共线，∴AB＝nAC，∴a＋kb＝mna＋nb，∴，∴mk－1＝0.2．若O为平行四边形ABCD对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1等于()A．BOB．AOC．COD．DO[答案]A[解析]如图，3e2－2e1＝BC－AB＝BC－DC＝BC＋CD＝BD＝2BO，∴BO＝e1－e1，故选A.3．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[答案]D[解析]∵a、b不共线且c∥d，∴＝，∴k＝－1，此时c＝－d，即c与d反向．4．设四边形ABCD中，DC＝AB，且|AD|＝|BC|，则这个四边形是()A．矩形B．正方形C．等腰梯形D．菱形[答案]C[解析]∵四边形ABCD中，DC＝AB，∴DC∥AB，且DC≠AB.又∵|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是等腰梯形．二、填空题5．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.[答案]或－2[解析]∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.6．已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD＝BC，CE＝CA，设AB＝a，AC＝b，则DE＝________.[答案]－a＋b[解析]如图，DE＝DB＋BA＋AE＝－BC＋BA＋AC＝－(b－a)－a＋b＝－a＋b.三、解答题7．如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M、N、C三点共线．[解析]设AB＝e1，AD＝e2，则：BD＝BA＋AD＝－e1＋e2，BN＝BD＝－e1＋e2，MB＝e1，BC＝AD＝e2，MC＝MB＋BC＝e1＋e2，MN＝MB＋BN＝e1－e1＋e2＝e1＋e2＝.故MN＝MC，故M、N、C三点共线．8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位线，求证：EF∥AD∥BC且EF＝(AD＋BC)．[解析]在梯形ABCD中，由AD∥BC可知AD∥BC且AD≠0∴可设BC＝λAD(λ∈R)．又EF是梯形ABCD的中位线，∴E、F分别是AB、CD的中点，∴EA＋EB＝0，DF＋CF＝0.∵EF＝EA＋AD＋DF，EF＝EB＋BC＋CF，∴2EF＝(EA＋EB)＋(AD＋BC)＋(DF＋CF)＝AD＋BC＝AD＋λAD，即EF＝(1＋λ)AD.∴EF∥AD，又EF与AD没有公共点，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC.又由2EF＝(AD＋BC)及AD与BC同向，可得|EF|＝|AD＋BC|＝(|AD|＋|BC|)，∴EF＝(AD＋BC)．综上可知，EF∥AD∥BC，且EF＝(AD＋BC)．9．(·山东济宁鱼台二中高一月考)设a、b是不共线的两个非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．[解析]∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即，解得或.故k＝±4.
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