课堂10分钟达标1.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆+=1,得a=5,所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.2.已知a=,c=2,则该椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1或+=1C.+y2=1D.+y2=1或x2+=1【解析】选D.a=,c=2,所以b2=()2-(2)2=1,a2=13,而由于焦点不确定,所以D选项正确.3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.所以椭圆方程为+=1.4.若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上,则此椭圆的内接正方形的边长为________.【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上,所以依题意,得b=c=1,a=,所以椭圆方程为+y2=1,设此椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0,x0),代入椭圆方程,得x0=,所以正方形的边长为.答案:5.已知椭圆的方程是+=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为________.【解析】由已知c=4,所以a==.又根据椭圆定义可得:△ABF2的周长为4a=4.答案:46.已知椭圆+=1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标.(2)求过M且与+=1共焦点的椭圆的方程.【解析】(1)把M的纵坐标代入+=1得+=1,即x2=9.所以x=±3,即M的横坐标为3或-3.(2)对于椭圆+=1,焦点在x轴上且c2=9-4=5,故设所求椭圆的方程为+=1,把M点的坐标代入得+=1,解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1.7.【能力挑战题】已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1和F2,点P在椭圆上,若PF1的中点在y轴上,试求∠F1PF2的余弦值.【解析】由椭圆方程知a=2,b=,所以c==3.所以F1(-3,0),F2(3,0).因为线段PF1的中点在y轴上,所以P点横坐标为xP=3.所以P点纵坐标yP=±,且PF2⊥x轴.所以|PF2|=,|PF1|=2a-|PF2|=.在Rt△PF2F1中,cos∠F1PF2==.
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