马尔科夫预测案例一、市场占有率的预测例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为：3202402403601806036060180N其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N的第二行与第三行的含义同第一行。（1）试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。（2）试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p。用800，600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P于是，第k月的绝对分布，或第月的市场占有率为：00()(1,2,3,,7)kkPpPkpP1k时，10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p2k时，220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252pPP3k时,330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496pPP类似的可以计算出4p，5p，6p和7p。现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：月份（i）三个厂家的市场占有率1ip2ip3ip10.520.240.2420.4960.2520.25230.50080.24960.249640.499840.250080.2500850.5000320.2499840.24998460.50.250.2570.50.250.25从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P是正规矩阵，因此P有唯一的均衡点。由本例可知，0.50.250.25。由定理可知，0lim0.50.250.25kkpP，即随着时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定。当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%。由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率。（1）调查目前的用户占有及变动情况8月1日的订户到9月1日发生变化的情况表7.58、9月各厂订户厂家飞跃（Ⅰ）金星（Ⅱ）凯歌（Ⅲ）英雄（Ⅳ）8月份订户9月1日失去订户9月1日保留订户9月1日订户保留率5456548088.1%4955544088.9%4175236587.5%3825432885.9%7.68、9月各厂订户的变动厂家ⅠⅡⅢⅣ8月用户占有数ⅠⅡⅢⅣ4802418153044020252016365141515143285454954173829月用户占有数53751541537218399月份四厂总用户为1839，各厂家的用户占有率分别为：0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量S(0)=（0.2920.2800.2260.202）（2）计算用户转移概率飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是8~9月的一步转移概率矩阵P（3）预测若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5）式的数学模型预测。10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0)·P0.8810.0550.0370.027=（0.2920.2800.2260.202）0.0490.8890.0320.0300.0430.0480.8750.0340.0390.0650.0370.859=(0.2890.2890.2250.197)11月各厂用户占有率为S(2)=S(1)·P0.8810.0550.0370.027=(0.2890.2890.2250.197)0.0490.8890.0320.0300.0430.0480.8750.0340.0390.0650.0370.859=(0.2860.2970.2240.193)12月各厂用户占有率为S(3)=S(2)·P=(0.2860.2970.2240.193)·P=(0.2840.3030.2230.190)预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。金星厂的用户占有率将明显高于其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂。二、人力资源预测例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：0.80.1500.0500.750.20.05000.80.20001P目前青年教师400人，中年教师360人...
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