【成才之路】-学年高中数学第3章导数及其应用综合素质检测新人教A版选修1-2时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为()A．k1>k2B．k1k2.2．函数f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)＝x2＋1在点(1,2)处的切线斜率k＝2.3．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,0)D．(－1,0)[答案]C[解析]设P(x0，y0)，f′(x)＝4x3－1，由题意得f′(x0)＝3，∴4x－1＝3，∴x0＝1.∴y0＝x－x0＝0，故选C.4．函数f(x)＝x－lnx的递增区间为()A．(∞－，1)B．(0,1)C．(1∞，＋)D．(0∞，＋)[答案]C[解析]函数f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝1－，令f′(x)>0，即1－>0，∴<1，∴x>1，故选C.5．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，f′(x)＝0得x＝0或2(舍去)又f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为2.6．(·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(∞∞－，＋)上是减函数，则m的取值范围是()A．m<0B．m<1C．m≤0D．m≤1[答案]C[解析]f′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(∞∞－，＋)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(∞∞－，＋)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为()A．20B．9C．－2D．2[答案]C[解析]由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.9．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为()A．－B．C．D．1[答案]C[解析]f′(x)＝excosx－exsinx，∴f′(0)＝1.设f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1， α∈(0，π)，∴α＝，∴cosα＝.10．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x[答案]B[解析]设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 函数图象过原点，∴d＝0.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得，，即，解得，∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.11．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的()[答案]D[解析]解法一：由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.解法二：观察f(x)的图象可见f(x)的单调性为增、减、增，故f′(x)的值为正、负、正，故选D.12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()A．(∞－，7]B．(∞－，－20]C．(∞－，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)． f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于________．[答案]3[解析] f′(x)＝3ax2－4x，∴f′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3.14．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．[答案]c<[解析] f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0.解得c<.15．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为__________________．[答案]－1[解析]f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，e)ef′(x)＋0－f(x)单调递增极大值－1单调递减1...
