量子力学复习要求第二章波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度2,rt和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.其中2w代表几率密度.2.态叠加原理:如果1和2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122cc,也是体系的一个可能状态.3.薛定谔方程和定态薛定谔方程含时薛定谔方程,?,rtiHrtt定态薛定谔方程4.波函数的标准条件:有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.5.波函数的归一化,6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱对应的波函数和本征值,一维线性谐振子对应的波函数和本征值;第三章量子力学中的力学量1.坐标算符,动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2.本征值方程,本征值,本征函数的概念3.厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.实数性:厄密算符的本征值是实数.正交性:厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交.完全性:厄密算符?F的本征函数nx和x组成完全系,即任一函数x可以按nx和x展开为级数:展开系数:nncxxdx,cxxdx.2nc是在x态中测量力学量F得到n的几率,2cd是在x态中测量力学量F,得到测量结果在到d范围内的几率.4.2?L和?ZL算符的本征值方程,本征值和本征函数.22?1Lll,?zLm本征函数,lmY.5.氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm的数学结构,主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念.6.氢原子的能级公式和能级的简并度.不考虑电子的自旋是2n度简并的;考虑电子的自旋是22n度简并的.7.给定电子波函数的表达式,根据电子在,,r点周围的体积元内的几率计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r到rdr的球壳内找到电子的几率.8.给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9.算符的对易关系及测不准关系.(1)如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值),这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如:氢原子的哈密顿算符?H,角动量平方算符2?L和角动量算符?zL相互对易,则(i)它们有共同的本征函数nlm,(ii)在态nlm中,它们同时具有确定值:4222sneEn,21ll,m.(2)测不准关系:如果算符?F和?G不对易,则一般来说它们不能同时有确定值.设则算符?F和?G的均方偏差满足:其中________________________2222222FFFFFFFFF__________222FFF,__________222GGG(a)利用测不准关系估计氢原子的基态能量,线性谐振子的零点能等.(b)给定态函数,计算两个力学量?F和?G的均方偏差的乘积第四章态和力学量的表象1.对表象的理解(1)状态:态矢量(2)Q表象:力学量Q的本征函数12,,...,...nuxuxux构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量(4)将态矢量按照上述基矢量展开:12,,...,...natatat是态矢量在Q表象中沿各基矢量的分量.(5)2nat是在,xt所描写的态中,测量力学量Q得到结果为nQ的几率.2.算符在Q表象中的表示(i)算符?F在Q表象中是一个矩阵,nmF称为矩阵元(ii)算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值.3.量子力学公式的矩阵表述(1)平均值公式:(2)本征值方程久期方程1111121222122212............:::......:::mmnnnmmmatatFFFatatFFFFFFatat(3)薛定谔方程的矩阵形式4.么正变换的概念(1)么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵.(2)么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,(3)态矢量由A表象变换到B表象的公式(4)力学量?F由A表象变换到B表象的公式:5.么正变换的性质(i)么正变换不改变算符的本征值;(ii)么正变换不改变矩阵F的迹;(iii)么正变换不改变力学量的平均值.第五–七章微扰理论(I)求解非简并定态微扰问题(1)确定微扰的哈密顿算符?H.0???HHH,及与0?H对应的零级近似能量0nE和零级近似波函数0n;(2)计算能量的一级修正:(3)计算波函数的一级修正:(4)计算能量的二级修正:(II)求解非简并定态微扰问题(只要求能量的一级修正)求解步骤(1)确定微扰的哈密顿算符?H.(2)确定微扰算符的矩阵元:(3)求解久期方程得到能量的一级修正(III)变分法适用条件第八-十章自旋与全同粒子1.三个实验和电子的自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只能取2.自旋算符的矩阵形式01?210xS,0?20yiSi,10?201zS3.泡利矩阵01?10x,0?0yii,10?01z(1)求力学量在某个自旋态的平均...
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