【成才之路】-学年高中数学2.7向量应用举例基础巩固北师大版必修4一、选择题1．已知A(3,7)，B(5,2)，将AB按向量a＝(1,2)平移后所得向量的坐标是()A．(1，－7)B．(2，－5)C．(10,4)D．(3，－3)[答案]B[解析]AB＝(5－3,2－7)＝(2，－5)，向量平移，向量的坐标不发生变化，所以，AB按向量a＝(1,2)平移后所得向量的坐标要仍然为(2，－5)，故答案为B.2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()A．AB∥CDB．(AB＋BC)⊥(BC＋CD)C．(AB－AD)·(BA－BC)＝0D．AB·AD＝BC·CD[答案]D[解析]AB·AD＝|AB||AD|cosA，BC·CD＝|BC||CD|cos(π－A)，∴AB·AD＝－BC·CD.3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]AC＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，AB＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，所以AC·AB＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0.故AC⊥AB，且|AB|≠|AC|.4．在△ABC中，有命题：①AB＝BC＋AC；②AB＋BC＋CA＝0；③(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．上述命题中，正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④[答案]C[解析]①AB－AC＝CB，故①假；②AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，为真；③(AB＋AC)·(AB－AC)＝(AB)2－(AC)2＝0，故AB＝AC，为真；④AC·AB＝|AC||AB|cosA>0，则A必为锐角，但形状不定，为假．5．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40NB．10NC．20ND．10N[答案]B[解析]|F1＋F2|＝20.又F1⊥F2，所以|F1|＝|F2|＝10，当F1与F2夹角为120°时，|F1＋F2|＝＝＝10(N)．6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形[答案]B[解析]由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0得(DB＋DC＋2AD)·(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)·(AB－AC)＝0.∴AB2－AC2＝0，∴|AB|＝|AC|，故选B.二、填空题7．设点A(1,1)，B(3，y)，且AB为直线2x－y＋1＝0的方向向量，则y＝________.[答案]5[解析]AB＝(2，y－1)，依题意得＝2，所以y＝5.8．在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.[答案]－[解析]本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝(a＋b)，BE＝BC＋CE＝(b－a)＋＝b－a，∴AD·BE＝·＝a·b－＋－a·b＝－－a·b＝－－×＝－.三、解答题9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.[证明]建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)． D是BC的中点，∴D(0，)．又 AE＝2EB，即AE＝2EB，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，∴解得x＝，y＝a.要证AD⊥CE，只需证AD与CE垂直，即AD·CE＝0. AD＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，OE＝CE＝(，a)，∴AD·CE＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0，∴AD⊥CE，即AD⊥CE.一、选择题1．已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为()A．0或－B．或－6C．－或D．0或[答案]B[解析]直线的法向量为n＝(m,1)，其单位向量为n0＝＝(m,1)，在直线上任取一点P(0，－3)，依题意有|AP·n0|＝|BP·n0|，从而|－3m－5|＝|m－7|，解得m＝或m＝－6.故选B.2．已知|a|＝2，|b|＝1，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．[0，]B．[，π]C．[，]D．[，π][答案]B[解析]由题意得Δ＝|a|2－4a·b≥0，所以cos〈a，b〉≤，故〈a，b〉∈[，π]．二、填空题3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝αOA＋βOB，其中α＋β＝1，α，β∈R，则点C的轨迹方程是________．[答案]x＋2y－5＝0[解析]设C(x，y)， OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1，∴消去α得x＋2y－5＝0.4．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[答案]λ>－且λ≠0[解析] a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)...
