【成才之路】-学年高中数学2.6平面向量数量积的坐标表示基础巩固北师大版必修4一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7[答案]D[解析]a·b＝－3×5＋4×2＝－7.2．平面向量a与b的夹角为120°，a＝(－2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝()A．3B．C．7D．[答案]B[解析]|a|＝2，|a＋b|＝＝＝＝＝.3．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则AB·AC等于()A．－1B．0C．1D．2[答案]B[解析] AB＝(1,1)，AC＝(－3,3)，∴AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0.4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为()A．B．C．D．[答案]B[解析]|b|＝＝，a·b＝－8＋21＝13，设a，b的夹角为θ，则a在b方向上的射影为|a|cosθ＝＝＝.5．(·山东文，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B．C．0D．－[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算及数量积．a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos＝2··.解之，m＝.6．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则P点坐标为()A．(－3,0)B．(3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案]B[解析]设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时AP·BP有最小值，∴P(3,0)．二、填空题7．已知a＝(1,0)，|b|＝1，c＝(0，－1)满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值为________．[答案]±[解析]kb＝－3a－7c＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3，7)．∴|kb|＝|k|·|b|＝＝. |b|＝1，∴k＝±.8．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．[答案](1)(，)(2)－[解析]本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，单位向量为(，)，(2)cos〈a，b－3a〉＝＝＝－.三、解答题9．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.(1)求b和c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．[解析](1) a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12. a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m，n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又 0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.一、选择题1．定义一种新运算a⊗b＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a⊗b＝()A．B．C．D．[答案]B[解析] cosθ＝＝＝＝－，又 0°≤θ≤180°，∴θ＝150°，所以a⊗b＝|a|·|b|sinθ＝2××＝.2．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A．B．－C．D．－[答案]C[解析]由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，从而cos〈a，b〉＝＝.二、填空题3．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD·AC＝________.[答案]3[解析]AD·AC＝[(AC＋BD)]·AC＝[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3.4．已知a＝(2t,7)，b＝(1，t)，若a，b的夹角为钝角，实数t的取值范围为________．[答案]∪[解析]因为a，b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a，b不共线，即有，解得t<0且t≠－.故t的取值范围为t<0且t≠－.三、解答题5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．[解析](1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的射影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.6．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)(其中0<α<π)，O为坐标原点，若|OA＋OC|＝，求OB与OC的夹角．[解析]由已知得OA＋OC＝(2＋cosα，sinα)． |OA＋OC|＝，∴(2＋cosα)2＋sin2α＝7.即4＋4cosα＋cos2α＋sin2α＝7.∴cosα＝，又α∈(0，π)，∴sinα＝.∴OC＝(，)，又OB＝(0,2)．∴cos∠BOC＝＝，∴∠BOC＝...
