【成才之路】-学年高中数学2.5夹角的计算基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则A1E与BD所成角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]B[解析]分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，D(0,0,0)，∴A1E＝(－1,2，－1)，BD＝(－1，－2,0)．∴|cos〈A1E，BD〉|＝||＝＝.2．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A．B．C．D．[答案]C[解析]以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E(，1,0)，D1(0,0,1)，∴AD1＝(－1,0,1)，AE＝(－，1,0)．设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.3．如图，四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为()A．B．C．D．[答案]C[解析]如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，DB与EC的夹角恰是二面角的平面角，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，可以求得BD＝，ED＝. BC＝BD＋DE＋EC，∴BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2BD·DE＋2DE·EC＋2EC·BD.∴EC·BD＝－.∴cos〈BD，EC〉＝－.即cos〈DB，EC〉＝.二、填空题4．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC夹角的余弦值为________．[答案][解析]根据题意，以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)．于是得A1B＝(－1,1，－2)，AC＝(－1,0,0)，所以cos〈A1B，AC〉＝＝＝，所以异面直线A1B与AC夹角的余弦值为.5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．[答案][解析]不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则CD＝，CB1＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由，解得n＝(－，1,1)．又 DA＝，∴sinθ＝|cos〈DA，n〉|＝.三、解答题6．(·辽宁理)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．[解析](1)方法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，图1所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，因此BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.方法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以EF＝(，0，－)，BC＝(0,2,0)，因此EF·BC＝0，从而EF⊥BC，所以EF⊥BC.(2)方法一：在图1中过O作OG⊥BF，垂足为G连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO为二面角E－BF－C的平面角，在△EOC中，EO＝EC＝BC·cos30°＝，由△BGO∽△BFC知OG＝·FC＝.因此tan∠EGO＝＝2，从而sin∠EGO＝.即二面角的正弦值为.方法二：在图(2)中平面BFC的一个法向量为n1＝(0,0,1)，设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)图2又BF＝(，，0)，BE＝(0，，)．由得其中一个n2＝(1，－，1)设二面角E－BF－C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ＝|cos|＝||＝.因此sinθ＝＝.即所求二面角正弦值为.一、选择题1．若平面α的一个法向量n＝(4,1,1)，直线l的方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α夹角的余弦值为()A．－B．C．－D．[答案]D[解析]cos〈a，n〉＝＝＝.∴l与α夹角的余弦值为＝.2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]如图，取BC的中点E，连结DE，AE，AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥...
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