【成才之路】-学年高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．[答案]D[解析]由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b.2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则AB·AC等于()A．－1B．0C．1D．2[答案]B[解析]AB＝(1,1)，AC＝(－3,3)，AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0.3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确[答案]C[解析]AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，AB·AC＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB|＝|AC|＝.∴△ABC为等腰直角三角形．4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－B．C．－D．[答案]A[解析] a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ)a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，由(λa＋b)⊥(a－2b)，得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－.5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝()A．B．C．5D．25[答案]C[解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.6．(·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D．[答案]C[解析]本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．二、填空题7．(·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．[答案][解析]b在a方向上的投影为|b|cos〈b，a〉＝＝＝.8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案][解析]a＋c＝(3,3m)， (a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.三、解答题9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．[解析] AB＝(3，－2)，DC＝(3，－2)，∴AB＝DC.又BC＝(4,6)，∴AB·BC＝3×4－2×6＝0，∴AB⊥BC. |AB|＝＝，|BC|＝＝2，∴|AB|≠|BC|，故四边形ABCD是矩形．一、选择题1．(·山东文，7)已知向量a＝(1，)、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为，则实数m＝()A．2B．C．0D．－[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算及数量积．a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos＝2××.解得，m＝.2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为()A．1B．－1C．1或－1D．以上都不对[答案]B[解析]m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)， m＋kn与m垂直，∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1.3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B．C．D．[答案]C[解析]本题考查了向量的坐标运算． a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，∴2a＋b，a－b＝.4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是()A．或B．或C．或D．或[答案]D[解析]设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，则，解得，或.二、填空题5．(·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.[答案]±3[解析]因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(·四川文，14)平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[答案]2[解析]本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题意有：＝即：＝，代入得：＝，解得m＝2.三、解答题7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．[解析]a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，|a＋tb|＝＝，由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝，即t2＋2t－3＝0，解得t＝－3或t＝1....
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