函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号易中难求函数的零点2、6108判定函数零点的个数35、9判定函数零点所在的区间14、7基础达标1.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(C)(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如下图所示:故选C.2.下列函数不存在零点的是(D)(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得A中函数的零点为1,-1;B中函数的零点为-,1;C中函数的零点为1,-1;只有D中函数无零点.故选D.3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表:x1234567f(x)123.521.5-7.8211.57-53.7-126.7-129.6那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(B)(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:由表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0.∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点.故选B.4.(天津一中高一期中)函数f(x)=2x-1+log2x的零点所在区间是(C)(A)(,)(B)(,)(C)(,1)(D)(1,2)解析:函数f(x)=2x-1+log2x的图象在[,1]上连续不断,且f()=2×-1+log2=-1<0,f(1)=2×1-1+log21=1>0,f()·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(,1)内有零点.故选C.5.(湖北黄冈中学高一期中)函数f(x)=x3-()x的零点个数是(B)(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个解析:作出y=x3与y=()x的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.6.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2、3,∴即a=5,b=-6,∴方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-、-,即为函数g(x)的零点.答案:-,-7.(南通市通州区高一期中)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k=.解析:方程为log3x+x-3=0,设f(x)=log3x+x-3,∵f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,即f(2)·f(3)<0,∴函数在(2,3)内存在零点,∴k=2.答案:2能力提升8.已知m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点,则实数a的取值范围是.解析:(1)当m=0时,由f(x)=x-a=0,得x=a,此时a∈R.(2)当m≠0时,令f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解,Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立,则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0,即-1≤a≤1.所以对m∈R,函数f(x)恒有零点时,有a∈[-1,1].答案:[-1,1]9.求函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0,即log2x=x-2.令y1=log2x,y2=x-2.画出两个函数的大致图象,如图所示,有两个不同的交点.所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.10.求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出其简图.解:令f(x)=x3-2x2-x+2=0,则有x2(x-2)-(x-2)=(x+1)(x-1)(x-2)=0,∴函数f(x)的零点为-1,1,2.又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.其图象如图所示.
