【龙门亮剑全国版】2011高三数学一轮 第三章 第三节 等比数列及其性质课件 理 VIP专享VIP免费

第三节等比数列及其性质考纲点击1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.热点提示1.以定义及中项为背景，考查等比数列的判定.2.以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查整体思想及分类讨论的思想.3.以选择题或填空题的形式考查等比数列的性质.等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或anan－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且_______)n≥2相关名词等比数列{an}的有关概念及公式通项公式an＝________前n项和公式a1·qn－1相关名词等比数列{an}的有关概念及公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝_____±abb2＝ac是a，b，c成等比的什么条件？【提示】b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件， 当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【解析】 {an}为等比数列，∴a24＝a2·a6，∴a2·a6＝16.【答案】C2．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是()A．2B．－2C．3D．－3【解析】方法一：依题意，q≠1，∴a1(1－q3)1－q＝7①a1(1－q6)1－q＝63②②÷①得1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.方法二：(a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，而a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56，∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.【答案】A3．关于数列3,9，…，729，以下结论正确的是()A．此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列B．此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列C．此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列D．此数列能构成等差数列，也能构成等比数列【解析】由等差数列和等比数列的定义验证该数列3,9，…，729可知是公差为6的等差数列也可以是公比为3的等比数列．【答案】D4．在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项公式bn＝________.【解析】由已知得{an}是以2为首项，以13为公比的等比数列，∴an＝2·(13)n－1，an＋1＝2·(13)n，∴2bn＝an＋an＋1＝2·(13)n－1＋2·(13)n，∴bn＝43·(13)n－1.【答案】43·(13)n－15．在正项数列{an}中，a1＝2，点(an，an－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【解析】依题意，an－2an－1＝0，∴an＝2an－1，∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴Sn＝a1(1－qn)1－q＝2n＋1－2.【答案】2n＋1－2等比数列的判定与证明数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列．【思路点拨】an＋Sn＝nan＋1＋Sn＋1＝n＋12an＋1－an＝12(an＋1－1)＝an－1an＋1－1an－1＝12cn＋1cn＝12.【自主证明】 a1＝S1，an＋Sn＝n①∴a1＋S1＝1得a1＝12，∴c1＝a1－1＝－12，又an＋1＋Sn＋1＝n＋1②②－①得2an＋1－an＝1，即2(an＋1－1)＝an－1，即an＋1－1an－1＝12，即cn＋1cn＝12，∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．等比数列的判定方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．1.前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．2．若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可．[教师选讲]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)，证明：数列{Snn}是等比数列．【证明】 an＋1＝n＋2nSn，∴nan＋1＝(n＋2)Sn，即n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，∴nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，又 a1＝1＝S11，∴{Snn}是以1为首项，以2为公比的等比数列．等比数列的基本运算设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且a5＝14，a7＝20.(1...