备战数学应考能力大提升典型例题例1P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为多少？解：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.例2(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：(1)切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为－＝1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(±，0)，∴c＝，又e＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2.∴双曲线方程为－＝1.例3已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·＝221145xy＝.∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝(x－)2＋.∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.创新题型1．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA�·OB�＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．答案x1＋x2＝，x1x2＝.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又∵OA�·OB�＞2，得x1x2＋y1y2＞2，∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3，②由①②得＜k2＜1，故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．2.解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，可得m2>3k2－1且k2≠.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.由题意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.∴m的取值范围是(－，0)∪(4∞，＋)．
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