备战数学应考能力大提升典型例题例1在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－－a－b)(＋a－b)<0，则(＋a＋b)(＋a－b)>0，可化为或由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为.例2将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(≤a≤1)的概率．解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1－x－y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为.“事件三段的长度都不超过a(≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．≤即图中六边形区域，此区域面积：当a≤时，为(3a－1)2/2“，此时事件三段的长度都不超过a(≤a≤1)”的概率为P＝＝(3a－1)2；≤当a≤1时，为－.“此时事件三段的长度都不超过a(≤a≤1)”的概率为P＝1－3(1－a)2.创新题型已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．参考答案(2)m、n满足条件的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P=112772.
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