第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量的分布列考向聚焦离散型随机变量及其分布列是高考考查的一大热点,每年均有解答题出现,与概率计算、期望与方差融合在一起,多属中等或中等偏难的题目,分值约占12分备考指津1.离散型随机变量是随机试验结果的数字化,求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量X取哪些值,然后求X取每一个值的概率,最后列成表格的形式;2.求离散型随机变量的分布列的关键是概率类型的确定与转化,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型、条件概率、相互独立事件的概率、超几何分布、二项分布等;3.求出随机变量的分布列后,可用分布列的两条性质检验所求的分布列或所求的概率是否正确1.(年安徽卷,理17,12分)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类型试题的数量.(1)求X=n+2的概率;(2)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望).解:本题考查概率及概率分布问题,考查数学期望的计算.考查阅读理解能力和分析求解能力.(1)X=n+2表示两次调题均为A类型试题,概率为×.(2)m=n时,每次调用的是A类型试题的概率为p=,随机变量X可取n,n+1,n+2,P(X=n)=(1-p)2=,P(X=n+1)=2p(1-p)=,P(X=n+2)=p2=.Xnn+1n+2PEX=n×+(n+1)×+(n+2)×=n+1,X的均值为n+1.解决概率分布问题的关键是理解题意,准确得出事件的概率,得出随机变量的可能取值,并能正确求出随机变量取值的概率,然后列随机变量的分布列,根据分布列求均值.2.(年湖南卷,理17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得P(X=1)==,P(X=1.5)==,P(X=2)==,P(X=2.5)==,P(X=3)==.X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为E(X)=1×+1.5×+2×+2.5×+3×=1.9.(2)记A“为事件该顾客结算前的等候时间不超过2.5”分钟,Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).由于各顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)=×+×+×=,故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.3.(年山东卷,理19,12分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解:(1)“”“”“”事件恰好命中一次包含甲靶射中一次或乙靶射中一次两类情形,∴P=××+×××2=.(2)由题意得,总得分X=0,1,2,3,4,5,其中P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=×××2=,P(X=3)=×××2=,P(X=4)=××=,P(X=5)=××=,∴总得分X的分布列为X012345P∴EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.4.(年浙江卷,理19,14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).解:(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)...
