第五节二次函数、函数与方程、函数模型及其应用二次函数考向聚焦二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图象与性质应用,特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用,同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中.对二次函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现,多为中档题,所占分值为5分左右1.(年安徽卷,文6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()解析:由abc>0知,a、b、c的符号为同正或两负一正,当c>0时ab>0,∴f(0)=c>0,对称轴x=-<0无对应选项;当c<0时,ab<0,∴f(0)=c<0,对称轴x=->0,由图象知选D.答案:D.2.(年天津卷,文10)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是()(A)[-,0]∪(1,+∞)(B)[0,+∞)(C)[-,+∞)(D)[-,0]∪(2,+∞)解析:由题意知:f(x)=,即f(x)=由h(x)=(x+)2+(x<-1或x>2),得h(x)∈(2,+∞).由H(x)=(x-)2-(-1≤x≤2),得H(x)∈[-,0].综上得:f(x)∈[-,0]∪(2,+∞).故选D.答案:D.函数的零点与方程的根考向聚焦函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主要从以下几个方面进行考查:一是求函数零点的个数(可能是具体函数也可能是抽象函数);二是判断函数零点(方程的根)所在的区间;三是已知函数零点(方程的根)的个数或范围,求解析式中参数的取值范围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5分左右备考指津要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及分类讨论思想方法的训练与应用3.(年北京卷,文5,5分)函数f(x)=-()x的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:函数f(x)=-()x的零点个数为函数p(x)=与函数q(x)=()x图象的交点个数.在同一坐标系内画出p(x)=与q(x)=()x的图象如图所示,两图象只有一个交点,∴函数f(x)=-()x的零点个数为1.故选B.答案:B.4.(年湖北卷,文3,5分)函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5解析:要使f(x)=xcos2x=0,则x=0,或cos2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos2x的函数图象,易得满足cos2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.答案:D.5.(年新课标全国卷,文11,5分)当0
1时,易知x<1时,logax<0,不成立.②0,∴0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为()(A)2(B)4(C)5(D)8解析:因f(x)是偶函数,故f(x)在[-π,π]上f(x)∈(0,1),又周期为2π,故f(x)在R上值域为(0,1).令g(x)=y=f(x)-sinx,易知其周期为2π.由题设可知f(x)在(0,)上单调递减,在(,π)上单调递增.所以g(x)在[0,]上单调递减,且g(0)=f(0)>0,g()=f()-1<0,故g(x)在(0,)上有唯一零点,同理在(,π)上也有唯一零点.易知g(x)在[π,2π]上恒大于0,故无零点.所以g(x)在[0,2π]上有且只有两个零点,又周期为2π,所以g(x)在[-2π,2π]上共有4个零点.答案:B.本题综合考查函数的单调性与周期性及零点存在定理,也可结合草图,数形结合快速求解.7.(年新课标全国卷,文10)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()(A)(-,0)(B)(0,)(C)(,)(D)(,)解析: f()=+4×-3=-1>0,f()=+1-3=-2<0,∴f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(,).故选C.答案:C.8.(年天津卷,文4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)解析: f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).故选C.答案:C.9.(年福建卷,文7)函数f(x)=的零点个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0解析:①x≤0时,f(x)=0⇔x2+2x-3=0,∴x=-3(x=1舍去).②x>0时,f(x)=0⇔-2+lnx=0,∴x=e2.因此函数共有2个零点.故选B.答案:B.函数的零点问题,通常借助图形直观判断,比较简单的问题,直接解方程更便捷.10.(年上海数学,文6,4分)方程4x-2x+1-3=0的解是.解析:...
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