第三节等比数列有关等比数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要考查a1、n、q、an、Sn的基本运算,“”即知三求二问题,多以选择、填空形式考查,难度较低,分值为5分左右备考指津熟记等比数列的定义、通项及求和公式,灵活选择形式,注重方程思想与整体代换思想的运用1.(年辽宁卷,文3)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由题设条件,得3(S3-S2)=a4-a3,即3a3=a4-a3,∴q==4.故选B.答案:B.2.(年浙江卷,文5)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()(A)-11(B)-8(C)5(D)11解析:设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0.得a1q(8+q3)=0.又 a1q≠0,∴q=-2.∴===-11.故选A.答案:A.3.(年江西卷,文7)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an等于()(A)(-2)n-1(B)-(-2)n-1(C)(-2)n(D)-(-2)n解析:由于a5=a2·q3=-8a2,∴q3=-8,∴q=-2.又|a1|=1,且a5>a2,∴a1=1,因此an=a1qn-1=(-2)n-1,故选A.答案:A.4.(年新课标全国卷,文14,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.解析:由题意,q≠1,由S3+3S2=4a1+4a2+a3=a1(4+4q+q2)=a1(q+2)2=0,a1≠0知q=-2.答案:-25.(年辽宁卷,文14,5分)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=.解析: 数列{an}是递增数列,且a1>0,∴q>1, 2(an+an+2)=5an+1,∴2a1qn-1+2a1qn+1=5a1qn,∴2q2-5q+2=0,.解得q=2或q=(舍去).答案:26.(年广东卷,文11)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.解析:a4-a3=4⇒a2q2-a2q=4⇒2q2-2q=4⇒q2-q-2=0得q=2或q=-1(舍去).答案:q=27.(年北京卷,文12)在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.解析:由等比数列通项公式得a4=a1q3, a1=,a4=4,∴q3=4.∴q=2,∴Sn==2n-1-.答案:22n-1-8.(年江西卷,文17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得,所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),于是an=2n.(2)Tn=iai=i·2i,即Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.利用an=来实现an与Sn的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,灵活运用该公式能较简洁地解决涉及an,Sn的有关问题;当某个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成时,此数列的前n项和一般可用错位相减法求得.9.(年重庆卷,文16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4(1)求{an}的通项公式;(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解:(1)设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4,得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2.所以{an}的通项为an=2·2n-1=2n(n∈N*)(2) {bn}是等差数列,b1=1,d=2,∴Sn=a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=+n×1+×2=2n+1+n2-2.10.(年大纲全国卷,文17)设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得,解得,或.当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn==3(2n-1);当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn==3n-1.11.(年新课标全国卷,文17)已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.(1)证明: an=×()n-1=,∴Sn==,∴Sn=.(2)解:bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+3+…+n)=-,∴{bn}的通项公式bn=-.在有关等比数列的基本运算问题中,一是要注意整体代换思想的运用,如an=a1qn-1=·qn中常以qn为整体;二是使用求和公式时切忌不分类讨论,盲目直接使用求和公式而忽略了q=1.等比数列性质的应用考向聚焦高考常考内容,主要考查等比数列项及和的重要性质的应用,多以选择、填空题形式考查,难度中等,分值约为5分备考指津熟记等比数列的有关性质并应用,着重训练:(1)通项公式的变形应用;(2)等比中项的变形应用;(3)前n项和公式变形的应用(Sn=k·qn+b(k+b=0))12.(年安徽卷,文5,5分)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=()(A)1(B)2(C)4(D)8解析:a3a11==16,所以a7=4,...
