数列D1数列的概念与简单表示法15．D1，D5[·湖南卷]对于E＝{a1，a2…，，a100}的子集X＝{ai1，ai2…，，aik}，定义X“”的特征数列为x1，x2…，，x100，其中xi1＝xi2…＝＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}“”的特征数列为0，1，1，0，0…，，0.(1)子集{a1，a3，a5}“”的特征数列的前3项和等于________；(2)若E的子集P“”的特征数列p1，p2…，，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q“”的特征数列q1，q2…，，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．15．217[解析](1)由特征数列的定义可知，子集{a1，a3，a5}“”的特征数列为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)“根据E的子集P“”的特征数列p1，p2…，，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P“”的特征数列为1，0，1，0…，，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.“根据E的子集Q“”的特征数列q1，q2…，，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q的“特征数列为1，0，0，1，0，0…，，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a1，a7，a13…，，a97，共17项．4．D1[·辽宁卷]下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p44．D[解析]因为数列{an}为d>0的数列，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.D2等差数列及等有效期数列前n项和19．D2，D4[·安徽卷]设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.19．解：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2an＋＝2＝2n＋＋2知，Sn＝b1＋b2…＋＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.7．D2[·安徽卷]设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．27．A[解析]设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.20．M2，D2，D3，D5[·北京卷]给定数列a1，a2…，，an，对i＝1，2…，，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2…，，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2…，，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2…，，dn－1是等比数列；(3)设d1，d2…，，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2…，，an－1是等差数列．20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2…，，an是递增数列．因此，对i＝1，2…，，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是对i＝1，2…，，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且＝q(i＝1，2…，，n－2)，即d1，d2…，，dn－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2…，，dn－1的公差．对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.从而a1，a2…，，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2…，，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1
VIP
