数列D1数列的概念与简单表示法15.D1,D5[·湖南卷]对于E={a1,a2…,,a100}的子集X={ai1,ai2…,,aik},定义X“”的特征数列为x1,x2…,,x100,其中xi1=xi2…==xik=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}“”的特征数列为0,1,1,0,0…,,0.(1)子集{a1,a3,a5}“”的特征数列的前3项和等于________;(2)若E的子集P“”的特征数列p1,p2…,,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q“”的特征数列q1,q2…,,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.15.217[解析](1)由特征数列的定义可知,子集{a1,a3,a5}“”的特征数列为1,0,1,0,1,0…,0,故可知前三项和为2.(2)“根据E的子集P“”的特征数列p1,p2…,,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99”可知子集P“”的特征数列为1,0,1,0…,,1,0.即奇数项为1,偶数项为0.“根据E的子集Q“”的特征数列q1,q2…,,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98”可知子集Q的“特征数列为1,0,0,1,0,0…,,0,1.即项数除以3后的余数为1的项为1,其余项为0,则P∩Q的元素为项数除以6余数为1的项,可知有a1,a7,a13…,,a97,共17项.4.D1[·辽宁卷]下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p44.D[解析]因为数列{an}为d>0的数列,所以{an}是递增数列,则p1为真命题.而数列{an+3nd}也是递增数列,所以p4为真命题,故选D.D2等差数列及等有效期数列前n项和19.D2,D4[·安徽卷]设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2,求数列{bn}的前n项和Sn.19.解:(1)由题设可得,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx.对任意n∈N*,f′=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差d=1,所以an=2+1·(n-1)=n+1.(2)由bn=2an+=2=2n++2知,Sn=b1+b2…++bn=2n+2·+=n2+3n+1-.7.D2[·安徽卷]设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.27.A[解析]设公差为d,则8a1+28d=4a1+8d,即a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.20.M2,D2,D3,D5[·北京卷]给定数列a1,a2…,,an,对i=1,2…,,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2…,,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.(1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;(2)设a1,a2…,,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2…,,dn-1是等比数列;(3)设d1,d2…,,dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0,证明:a1,a2…,,an-1是等差数列.20.解:(1)d1=2,d2=3,d3=6.(2)证明:因为a1>0,公比q>1,所以a1,a2…,,an是递增数列.因此,对i=1,2…,,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1.于是对i=1,2…,,n-1,di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1.因此di≠0且=q(i=1,2…,,n-2),即d1,d2…,,dn-1是等比数列.(3)证明:设d为d1,d2…,,dn-1的公差.对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d>0,所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai.又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai.从而a1,a2…,,an-1是递增数列,因此Ai=ai(i=1,2…,,n-1).又因为B1=A1-d1=a1-d1