第三节等比数列有关等比数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要考查a1、n、q、an、Sn的基本运算,“”即知三求二问题,多以选择、填空形式考查,难度较低,分值为5分左右备考指津熟记等比数列的定义、通项及求和公式,灵活选择形式,注重方程思想与整体代换思想的运用1.(年浙江卷,理3)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()(A)11(B)5(C)-8(D)-11解析:设等比数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,得a1q(8+q3)=0,又 a1q≠0,∴q=-2.∴===-11.故选D.答案:D.2.(年广东卷,理4)已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于()(A)35(B)33(C)31(D)29解析:设等比数列{an}的公比为q,则,解得.所以S5===31,故选C.答案:C.3.(年浙江卷,理13,4分)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.解析:由题意可得a1+a2=3a2+2,①a1+a2+a3+a4=3a4+2,②②-①得a3+a4=3a4-3a2,即a1q2+a1q3=3a1q3-3a1q,化简得2q2-q-3=0,解得q=-1(舍)或q=.答案:4.(年辽宁卷,理14,5分)已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=.解析:由{an}为递增的等比数列知公比q>1.由得,解得q=2,q=(舍),a5=25,∴an=a5qn-5=25·2n-5=2n.答案:2n5.(年北京卷,理11)在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+…+|an|=.解析: a4=a1q3,∴q3=-8,∴q=-2,∴an=·(-2)n-1,∴|an|=·2n-1=2n-2,即数列{|an|}为等比数列,首项为,公比为2,∴|a1|+|a2|+…+|an|==(2n-1)=2n-1-.答案:-22n-1-6.(年福建卷,理11)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=.解析:S3=a1(1+q+q2)=21a1=21,∴a1=1,∴an=4n-1.答案:4n-1等比数列性质的应用考向聚焦高考常考内容,主要考查等比数列项及和的重要性质的应用,多以选择、填空题形式考查,难度中等,分值约为5分备考指津熟记等比数列的有关性质并应用,着重训练:(1)通项公式的变形应用;(2)等比中项的变形应用;(3)前n项和公式变形的应用(Sn=k·qn+b(k+b=0))7.(年安徽卷,理4,5分)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于()(A)4(B)5(C)6(D)7解析:本题考查等比数列的性质,考查对数运算. a3a11=16,∴a7=4,∴a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=log225=5.答案:B.8.(年新课标全国卷,理5,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于()(A)7(B)5(C)-5(D)-7解析:主要考查等比数列的简单性质, a5a6=-8,∴a4a7=-8.又 a4+a7=2,∴或.当时,此时a1+a10=a1+a7q3=-7;当时,此时a1+a10=a1+a7q3=-7.答案:D.9.(年北京卷,理2)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()(A)9(B)10(C)11(D)12解析:由等比数列的性质可得am==q10=a1·q11-1,所以m=11.故选C.答案:C.10.(年安徽卷,理10)设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()(A)X+Z=2Y(B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ(D)Y(Y-X)=X(Z-X)解析:若等比数项的前n项和X=Sn=0,则Y=Sn+qnSn=0,同理Z=0;若X≠0时,X,Y-X,Z-Y成等比数列,∴(Y-X)2=X(Z-Y),化简得Y(Y-X)=X(Z-X),故选D.答案:D.11.(年新课标全国卷,理17)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由=9a2a6得=9,所以q2=.由条件可知q>0,故q=.由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=.故数列{an}的通项公式为an=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-,故=-=-2(-),++…+=-2[(1-)+(-)+…+(-)]=-.所以数列{}的前n项和为-.等比数列的综合应用考向聚焦高考热点考查内容,常在解答题中考查,难度中等有一定的综合性,常涉及分类讨论思想的应用,多与不等式相结合考查备考指津训练题型:(1)等比数列的基本运算与错位相减求和的综合问题;(2)与等比数列有关的存在性问题12.(年天津卷,理18,13分)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).(1)解:设等差数列{an}的公差为d,等比数...
