第七节圆锥曲线的综合问题与圆锥曲线有关的最值、范围问题考向聚焦高考常考内容,主要结合直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量等知识综合命题,考查有关最值、范围等问题,考查观察、分析问题的能力,考查等价转化思想和全面认识问题的能力.基本上以解答题形式出现,难度大,所占分值12分左右备考指津训练题型:(1)从特殊位置确定最值,主要训练分析问题的能力及逻辑推理能力;(2)通过研究直线与圆锥曲线位置关系求最值或范围,主要对转化能力和函数与方程思想、数形结合思想的应用的训练1.(年浙江卷,理16,4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.解析:圆上的点到直线y=x的距离为-=,设曲线C1上一点A(x0,y0)到直线y=x的距离最小,则A处的切线与直线y=x平行,∴2x0=1,x0=,点A的坐标为(,+a),∴=,解得a=或a=-(舍).答案:2.(年重庆卷,理15)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为.解析:圆C的半径取到最大值时,☉C是封闭区域内与直线x=3和抛物线都相切的圆,设☉C半径为R,则C(3-R,0),则☉C方程可表示为(x+R-3)2+y2=R2,而所求圆应为与抛物线有公共点的圆中半径最小的圆,所以联立y2=2x,消去y,得(x+R-3)2+2x-R2=0,即x2+2(R-2)x+3(3-2R)=0,解出2R并整理得2R=(3-x)+-2. 0≤x≤3,∴2R≥2-2=2-2,∴R≥-1,∴所求半径为-1.答案:-13.(年天津卷,理19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.(1)解:设点P(x0,y0)(y0≠0),则+=1, A(-a,0),B(a,0),∴kAP=,kBP=, kAP·kBP=-,∴·=-,∴=a2-2,代入+=1并整理得(a2-2b2)=0, y0≠0,∴a2=2b2,∴e2===1-=1-=.∴e=( 0
b>0,∴(1+k2)2>4k2+4,∴k2-1>2,∴k2>3,∴|k|>.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,同时还考查了直线与椭圆的位置关系,考查了学生的推理运算能力、综合分析和解决问题的能力.4.(年四川卷,理22,14分)已知a为正实数,n为自然数,抛物线y=-x2+与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.(1)用a和n表示f(n);(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值;(3)当04n=(1+3)n=1+·3+·32+·33+…+3n≥1+·3+·32+·33=1+2n3+n[5(n-2)2+(2n-5)]>2n3+1.当n=0,1,2时,显然()n≥2n3+1.故a=时,≥对所有自然数n都成立.所以满足条件的a的最小值为.(3)由(1)知f(k)=ak,则=,=.下面证明:>·.首先证明:当00.故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g()=0.所以,当0·=·.本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法.5.(年全国新课标卷,理20)在平面直角坐标系xＯy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足∥,·=·,M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.解:(1)设M(x,y).由已知得B(x,-3),又A(0,-1),∴=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).又 ·=·,∴(+)·=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0,∴y=x2-2,∴曲线C的方程为y=x2-2.(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上一点, y'=x,∴C在P点处切线l的斜率为x0,∴直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-=0,...
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