第六节圆锥曲线的综合问题与圆锥曲线有关的最值、范围问题考向聚焦高考常考内容,主要结合直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量等知识综合命题,考查有关最值、范围等问题,考查观察、分析问题的能力,考查等价转化思想和全面认识问题的能力.基本上以解答题形式出现,难度大,所占分值12分左右备考指津训练题型:(1)从特殊位置确定最值,主要训练分析问题的能力及逻辑推理能力;(2)通过研究直线与圆锥曲线位置关系求最值或范围,主要对转化能力和函数与方程思想、数形结合思想的应用的训练1.(年山东卷,文21,13分)如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.解:(1) e==,∴1-=,∴=,∴a=2b,① 矩形ABCD的面积为8,∴4ab=8,∴ab=2,②由①②解得a=2,b=1,∴椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由消去y整理得,5x2+8mx+4m2-4=0,由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0得-0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值;(2)求△ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).由故(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,所以直线AB方程为y-m=(x-m).即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.由Δ=4m-4m2>0,得01),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A的坐标为(2,0),(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.解:(1)若M与A重合,则M(2,0),∴m=2,∴椭圆C的方程为+y2=1,c==,曲线C的焦点坐标为(-,0)、(,0).(2)若m=3,则C:+y2=1,设P(x,y)(-3≤x≤3),|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=-4x+5=(x-)2+, -3≤x≤3,∴当x=时,|PA=,当x=-3时,|PA=25.∴当x=时,|PA|min=,当x=-3时,|PA|max=5.(3)设动点P(x,y)(-m≤x≤m),则|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-=(x-)2-+5, 当x=m时,|PA|取最小值,且>0,∴≥m且m>1,解得1
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