【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步学业分层测评24空间两点间的距离公式北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为()A.B．25C．5D.【解析】|AB|＝＝5.【答案】C2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9B.C．5D．2【解析】由已知可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.【答案】B3．如图2313，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()图2313A.aB.aC．aD.a【解析】由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，∴E，则|EF|＝＝a.【答案】B4．设点P在x轴上，它到P1(0,，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1,0,0)B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0)D．(1,0,0)或(－1,0,0)【解析】∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴＝2，解得x＝±1，∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．【答案】D5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是()A．3B．3C．2D．2【解析】|AB|＝＝≥＝3.【答案】B二、填空题6．点P(x，y，z)到点A(－1,2,3)，B(0,0,5)两点的距离相等，则x、y、z满足______．【解析】由|PA|＝|PB|，可得＝，整理得2x－4y＋4z－11＝0.【答案】2x－4y＋4z－11＝07．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．【解析】设正方体棱长为a，则＝|AB|＝，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】648．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝________.【解析】由距离公式|AB|＝＝；|AC|＝＝；|BC|＝＝；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.【答案】2三、解答题9．如图2314，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长.【导学号：10690074】图2314【解】以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，∴|AD1|＝＝，|AB1|＝＝5，|AC1|＝＝.10．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．【解】∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP|＝＝＝，∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2,0)．即M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.[能力提升]1．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的个数为()A．1B．2C．3D．无数【解析】由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．【答案】D2．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，)，则|PA|的最小值是()A．2B．3C．4D．5【解析】x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O、P、A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝－1＝4－1＝3.【答案】B3．(2016·徐州高一检测)对于任意实数x、y、z，＋的最小值为______．【解析】结合空间直角坐标系中任意两点的距离公式，可得＋表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0,0,0)及定点A(－3，－2,1)的距离之和，显然当O，M，A三点共线时，|OM|＋|MA|最小，最小值为|OA|＝＝.【答案】4．已知正三棱锥ABCD，高为1，底面正三角形边长为，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．【解】设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴，以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，设CD中点为E，由BC＝，O为△BCD中心可知，|OB|＝|BE|＝·|BC|＝1，|OE|＝|OB|＝，∴B(1,0,0)，E.又|CE|＝|ED|＝，∴C，D.又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．由两点间的距离公式|AB|＝＝，∴各点坐标为A(0,0,1)，B(1,0,0)，C，D，侧棱AB长为.
