综合模拟练031．已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：当时，，所以，当时，，即，，，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，所以.（Ⅱ）证明：．由，所以，所以．因为，所以，即．点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.2．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，是的中点，，是三棱柱，，，平面，是的中点，，平面，平面平面，平面；分别以，，为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，由题设可得，，，，，，设是平面的一个法向量，则令，，，，直线与平面所成角的正弦值为.点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．3．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．（Ⅰ）求此班级人数；（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（I）；（II）（i）；（ii）分布列见解析，期望为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件，则，所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为．（ii）随机变量的可能取值为0,1,2，，，，随机变量的分布列为：因为，所以随机变量的数学期望为1．4．如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）面积的最小值为9，.试题解析：（Ⅰ） 椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，∴，又 椭圆的离心率是，∴，，∴椭圆的标准方程为．面积．令，则，，令，则，即时，面积最小，即当时，面积的最小值为9，此时直线的方程为．5．已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数.①求最大整数值；②证明：.【答案】（1）；（2）①2；②见解析．试题解析：（1）当时，，∴，又，∴，则所求切线方程为，即.（2）由题意知，，若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.①先证明.设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即.同理可证，∴,∴.当时，恒成立.当时，，即不恒成立.综上所述，的最大整数值为2.6．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.【答案】（1），（2）【解析】（1）因为，由得，所以曲线的直角坐标方程为，由得，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.则，，所以.点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t的几何意义，借助t的意义来表示线段长会很方便.7．选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若a＝...
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