一、构造正方体与长方体的外接球问题二、与正棱锥有关的外接球问题培优点十四外接球例1：已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，∴直三棱柱的底面为直角三角形，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线就是球的直径，即球的半径为．例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）三、其他柱体、锥体的外接球问题A．B．C．D．【答案】C【解析】 正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，∴球心是底面三角形的中心， 球的半径为，∴底面三角形的边长为，即该正三棱锥的体积为．例3：已知是球的球面上的两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，当平面时，三棱锥的体积最大，对点增分集训此时，解得，所以球的表面积为．一、选择题1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为，棱柱的体积为，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正四棱柱的高为，体积为，则底面面积为，即底面正方形的边长为，正四棱柱的对角线长即球的直径为，即球的半径为，球的表面积为．2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把原来的几何体补成以，，为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，．3．直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 在直三棱柱中，，，∴，，为棱构造一个正方体，则外接球的半径，故表面积为．4．点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的中心为，过点作平面的垂线，则有题意可知，点在直线上，的面积为．由体积的最大值可得，则．由题意易知，外接球的球心在上，设球心为点，半径．的外接圆半径满足，即，∴．在中，，即，解得．据此可得这个球的表面积为．5．一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是，正方体的体对角线长为，即此球的半径，故球的表面积．6．已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积最大值为，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，所以为截面圆的直径，，即该三棱锥的外接球的球心在截面中的射影为的中点，当，，三点共线且，位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为，所以，解得，设外接球的半径为，则，，在中，，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为．7．已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，由，，，可得，则，又平面，故，则．8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，，．9．已知，，，是同一个球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把，，，扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，所以，．所以球的体积为．10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， ，，，∴，即，∴，解得， ，，∴平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，即球的表面积为．11．如图，在四面体中，，点是点在平面上的投影，且．则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 在四面体中，，点是点在平面上的投影，且．∴，，∴，．由题意知四面体的外接球的球心在线段上，∴，∴，解得．∴四面体的外接球的体积为．12．已知四面体的外接球球心恰好在棱上...
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