课时素养评价三十平面向量的坐标及其运算(15分钟30分)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),则向量=()A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-1,-2)D.(1,2)【解析】选B.因为A(0,1),B(3,2),所以=(3,1),所以=(-)==(-6,-4)=(-3,-2).【补偿训练】在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=()A.(2,4)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).2.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为()A.(1,8)B.(-1,8)C.(3,2)D.(-3,2)【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得所以点B的坐标为(-1,8).3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是______.【解析】由题意知:BC中点为D,所以=,所以==.答案:4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________.【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,所以可设所求向量为x(1,2),又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).答案:(1,2)或(-1,-2)5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=(3,1),=(2,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若=-3,求点C的坐标.【解析】由题意知,=-=(-1,-2),=-=(a-3,b-1).(1)因为A,B,C三点共线,所以∥,所以-(b-1)-(-2)×(a-3)=0,所以b=2a-5.(2)因为=-3,所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),所以解得所以点C的坐标为(6,7).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则=()A.3B.3C.4D.5【解析】选A.因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此==3.2.(2020·福州高一检查)已知向量与单位向量e同向,且A,B,则e的坐标为()A.B.C.D.【解析】选B.设e=,因为是单位向量,所以x2+y2=1,①由A,B得=,因为向量与单位向量e同向,所以-6y-2x=0②,①②联立解方程组得或所以e=或e=,又因为,e方向相同,e=舍去,所以e=.3.已知向量a=,b=,且a∥b,若x,y为正数,则+的最小值是()A.B.C.16D.8【解析】选D.因为a∥b,所以3=-2x,即2x+3y=3,那么+==≥=8,等号成立的条件为=,,解得x=,y=,所以原式的最小值为8.4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于()A.2B.C.2D.4【解析】选A.因为|OC|=2,∠AOC=,所以C(,),又=λ+μ,所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.【光速解题】在平面直角坐标系中作出三向量所在位置,根据等腰直角三角形中的长度关系易得所求两字母的值相等,均为.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是()A.-2B.-C.D.2【解析】选BC.因为a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,所以2(y2-2)-(-1)x2=0,所以x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤.所以y的取值范围是[-,].6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则可使λ1λ2<0成立的a可能是()A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)【解析】选AC.a=λ1e1+λ2e2=(-λ1+2λ2,2λ1+λ2),若a=(1,0),则解得λ1=-,λ2=,λ1λ2<0,满足题意;若a=(0,1),则解得λ1=,λ2=,λ1λ2>0,不满足题意;因为向量(-1,0)与向量(1,0)共线,所以向量(-1,0)也满足题意.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则||=________,点P的坐标为________.【解析】设P(x,y),=(x-3,y+2),=(-8,1),所以||==;所以==(-8,1)=,所以所以答案:【补偿训练】已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=________.【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+4μ,-2+5μ),所以解得λ=-1,μ=0,所以M∩N={(-2,-2)}.答案:{(-2,-2)}8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为________.【解析】如图所示建立平面直角坐标系,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以=,所以当y=b时,取得最小值5.答案:5四、解答题(每小题10分,共20分)9.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以||=||=||=4.因为在0°～360°范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为330°,当点B在OA的上方时,以OB...
