课时分层训练(十七)定积分与微积分基本定理A组基础达标一、选择题1．定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1C[(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝1＋e1－1＝e.故选C.]2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C.D.D[由题意知S＝cosxdx＝sinx＝－＝.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()【导学号：79140093】A.gB．gC.gD．2gC[由题意知电视塔高为gtdt＝gt2＝2g－g＝g.]4．定积分|x2－2x|dx＝()A．5B．6C．7D．8D[∵|x2－2x|＝∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.]5．(2018·合肥一检)在如图2121所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为()图2121A．5000B．6667C．7500D．7854B[图中阴影部分的面积为(1－x2)dx＝＝，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×≈6667，故选B.]二、填空题6．(2018·长沙模拟(二))若(x2＋sinx)dx＝18，则a＝________.3[(x2＋sinx)dx＝＝a3＝18，解得a＝3.]7．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10(单位：m)，已知F(x)＝x2＋1(单位：N)且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J.342[变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．]8．(2017·洛阳统考)函数f(x)＝的图像与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140094】e－[由题意知所求面积为(x＋1)dx＋exdx＝＋ex＝－＋(e－1)＝e－.]三、解答题9．计算下列定积分：(1)dx；(2)dx；(3)sindx.[解](1)原式＝＝－＝－ln2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的图像的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝；(3)原式＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝－(－cos0＋sin0)＝2.10．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．[解]如图所示，由得交点A(1,1)．由得交点B(3，－1)．故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.B组能力提升11．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C．D．1B[由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.]12．(2017·河南百校联盟4月模拟)已知＋＝2，若φ∈，则(x2－2x)dx＝()A.B．－C.D．－C[由＋＝2⇒sinφ＋cosφ＝2·sinφ·cosφ⇒sin＝sin2φ，因为φ∈，所以φ＝，所以tanφ＝1，故(x2－2x)dx＝(x2－2x)dx＝＝.]13．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．[f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，所以x＝，x0＝±.又因为0≤x0≤1，所以x0＝.]14．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积.【导学号：79140095】[解]∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，∵f′(x)＝3x2－2x＋1，则k＝f′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图．由可得交点A(2,4)，∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积S＝(2x－x2)dx＝＝4－＝.
