第二节等差数列有关等差数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要是以选择、填空题形式考查a1、n、d、an、Sn的基本运算问题,“”即知三求二,难度较低,分值占5分左右备考指津要熟记等差数列的通项公式、求和公式,运算时注意方程思想与整体思想的运用1.(年大纲全国卷,文6)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于()(A)8(B)7(C)6(D)5解析:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.故选D.答案:D.2.(年重庆卷,文1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10等于()(A)12(B)14(C)16(D)18解析:在等差数列{an}中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.选D.答案:D.3.(年北京卷,文10,5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=;Sn=.解析:设等差数列{an}的公差为d, S2=a3,∴2a1+d=a1+2d,∴a1=d.又 a1=,∴d=,∴a2=a1+d=1,Sn=na1+=.答案:14.(年天津卷,文11)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列首项为a1,公差为d,由题意可得,解得,∴S10=10a1+×10×9d=10×20+×10×9×(-2)=110.答案:1105.(年辽宁卷,文14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.解析:设等差数列公差为d,则S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,①S6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8,②联立①②两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+8×2=15.答案:156.(年湖北卷,文20,13分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,Sn=7.(年福建卷,文17)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解:(1)设等差数列的公差为d,则2d=a3-a1=-4,∴d=-2,∴an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)知an=3-2n,∴Sn==2n-n2,若Sk=-35可得k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又k∈N*,故k=7.8.(年全国新课标卷,文17)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得可解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N*).(2)法一:由(1)知,Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.法二:由(1)知an=11-2n令an=0得n=5.5,所以a5=1,a6=-1,因为数列{an}前5项都为正数,从第6项起都是负数,因此Sn的最大值是S5,S5===25.故当n=5时,Sn取得最大值.(1)本题是通过等差数列的基本量计算求得an的通项公式,这种方法是解决这类问题的最基本的求解方法.(2)在求Sn最值时可以同法一利用配方法,但是如果配方之后n不为整数时,要取距离最近的整数如n=3.75时则在n=4处取得最值;若n=7.5,则在n=7或n=8处取得最值;而法二利用an的正负找到数列{an}的分界点,从而求出Sn的最值.9.(年浙江卷,文19)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.解:(1)由题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7,d=-3.所以S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8,故d的取值范围为d≤-2或d≥2.等差数列性质的应用考向聚高考热点内容,多以选择、填空形式考查等差数列的性质,难度低档,分值占5分左右焦10.(年辽宁卷,文4,5分)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于()(A)12(B)16(C)20(D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq得,a4+a8=a2+a10=16.故选B.答案:B.11.(年重庆卷,文2)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为()(A)5(B)...
